周五下午。
阳光透过巨大的落地窗，在地板上切割出明亮的光斑，空气中漂浮着细小的尘埃，和淡淡的书卷气。
专用的竞赛教室内，几位二中的竞赛老师在讲着课，一些突击方法。其他同学听的津津有味。
但4人组有不一样的风景。
陈启明则是正全神贯注地盯着一沓资料，整个人仿佛与外界隔绝，沉浸在知识的海洋里。
而在另一头，气氛则要“活泼”得多。
林溪秀气的眉头微微蹙起，手中那支精致的钢笔，笔尖悬在草稿纸上方，迟迟没有落下。
设 φ 是欧氏空间 V 的正交变换，且 φ 的 次方等于恒等变换 e（其中 ＞ 1）。记 w_φ 为所有满足 φ(x) = x 的向量 x 的集合，并设 w_φ^⊥ 是 w_φ 的正交补空间。证明：对任意向量 a 属于 V，如果 a 可以分解为 a = β + γ，其中 β 属于 w_φ，γ 属于 w_φ^⊥，那么必有 β = (1\/) * Σ [i=1 到 ] φ^(i-1) (a)。
这道题的抽象性让她感到一丝烦躁，不自觉地抓了抓自己的头发。
坐在她对面的刘利伟，刚刚轻松解决了一道物理电磁学的大题，正伸着懒腰，一眼就瞥见了林溪的小动作。
他眼睛一亮，感觉发现新大陆似的，身体前倾，压低声音，带着一丝欠揍的笑意问道：“哟，我们无所不能的林大御姐，这是遇到什么难题了？需要我这个‘凡人’帮忙吗？”
林溪抬起眼，清冷的目光像刀子一样刮了过去：“管好你自己的事。别在这儿烦我。”
她越是这样，刘利伟就越来劲。他探头看了一眼题目，立刻“哦豁”了一声。
“原来是这道题啊，怎么，卡住了？”他摸着下巴，一副“我早就看穿了一切”的得意模样。
林溪被他这副样子气得心头火起，冷哼一声：“你行你上啊？”
她这本是句气话，没想到刘利伟真的拿起一张草稿纸，毫不客气地说道：“看好了！”
根据子空间的定义和正交变换的性质，易知w_φ是V的一个子空间，所以w_φ有唯一的正交补w_φ^⊥（也是V的一个子空间）
记U=kerΣ [i=1 到 ]φ^(i-1)，下证w_φ=U。
记f(x)=x?1,g(x)=x^(?1)+?+x+1，显然，(f(x),g(x))=1,故存在 u(x),v(x)∈R[x],使得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. 因此,有a=u(φ)f(φ)(a)+v(φ)g(φ)(a),?a∈V.
f(φ)g(φ)=0,有v(φ)g(φ)(a)∈w_φ,u(φ)f(φ)(a)∈U,所以V=w_φ+U.
进一步,任取x∈w_φ,y∈U,则φ(x)=x,Σ [i=1 到 ] φ^(i-1) (y)=0，从而
(x,y)=(φ(x),φ(y))=(x,φ(y))=(φ(x),φ^2(y))=(x,φ^2(y))=?=(φ(x),φ?1(y))=(x,φ^(?1)(y))=(x,φ^(?1)(y)),
(x,y)=(x,y),
两端分别相加,得(x,y)=(x,Σ [i=1 到 ] φ^(i-1) (y)=0
即(x,y)=0. 所以w_φ⊥U,即U=w_φ^⊥.
任取 a ∈ V, 使 a = β + γ, 而 β ∈ w_φ, γ ∈ w_φ^⊥, 依次用 φ, φ^2, ..., φ^{-1} 作用于分解式并相加, 得
β = (1\/) ∑_{i=1}^ φ^{i-1}(a)，证毕.
他将写满推导过程的草稿纸推到林溪面
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