无尽的余项



第一章 旧纸页上的幽灵

林深第一次见到那个数字，是在祖父留下的樟木箱底。

那是个深秋的午后，梧桐叶把窗棂筛成斑驳的金网，空气里飘着樟木与旧纸张混合的、带着时光霉味的气息。他蹲在老宅的书房里，指尖拂过箱底一卷泛黄的手稿，宣纸被岁月浸得发脆，字迹却依旧清隽，是祖父特有的瘦金体。手稿的末页，没有题跋，没有落款，只有一行墨迹浓得化不开的算式：

\gamma=0....

一串没有尽头的数字，像一条沉默的蛇，盘踞在纸页中央。

林深的呼吸顿了一下。

他是数学系的研究生，主攻数论，对数学常数的熟悉程度，不亚于对自己掌纹的认知。π是圆的灵魂，e是自然的韵律，√2是无理数的第一道闪电，φ是黄金分割的优雅化身——这些数字，都有清晰的身份铭牌，有迹可循，有理可依。

但这个γ，不一样。

它像一个幽灵。

林深的指尖在纸页上轻轻摩挲，那串数字的尾端，祖父画了一个小小的问号，旁边注着一行蝇头小字：“调和之末，自然之始，余韵何在？”

调和。自然。

这两个词像钥匙，咔嗒一声，撬开了记忆的缝隙。林深想起本科时的数分课堂，老教授用粉笔在黑板上写下调和级数的公式，语调缓慢得像在念一首诗：“1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...，这个级数是发散的，它会奔向无穷远。但如果我们给它减去\ln n，当n趋向于无穷大时，这个差值会收敛。收敛到一个常数，就是γ，欧拉-马歇罗尼常数。”

老教授的粉笔顿在黑板上，扬起一层细灰：“迄今为止，我们不知道它是有理数还是无理数，不知道它是不是超越数。它就像数学世界里的一个谜，站在有限与无限的交界处，看着我们。”

当时的林深，只是把γ当作一个普通的常数，记在笔记本上，和π、e列在一起。可现在，祖父手稿上的那串数字，那一个问号，像一根针，刺破了他对这个常数的漠然。

祖父是个老派的数学教师，一辈子浸淫在数字里，退休后便躲在老宅的书房里，与旧书和手稿为伴。林深小时候常看见他坐在书桌前，对着一沓草稿纸写写画画，眉头紧锁，像在和什么看不见的东西较劲。他曾问过祖父在算什么，祖父只是摇摇头，摸了摸他的头：“在找一个数的呼吸。”

那时的林深，听不懂。

直到此刻，他蹲在樟木箱前，指尖触到那行冰冷的数字，忽然明白了祖父话里的深意。

这个γ，是有呼吸的。

他小心翼翼地把手稿叠好，放进随身的背包里。窗外的梧桐叶又落了几片，阳光穿过叶隙，在地板上投下晃动的光斑，像一串跳跃的数字。林深站起身，目光落在书房角落的一个旧书架上，那里摆着祖父的藏书，大多是数学史和数论相关的着作，书脊都被翻得发毛。

他走过去，抽出一本泛黄的《欧拉全集》，书页间夹着一张书签，是一片干枯的银杏叶。书签的背面，祖父用铅笔写着一行字：“欧拉在1735年捕捉到它的影子，马歇罗尼在1790年为它命名。可它的真身，藏在无穷的余项里。”

林深的心，轻轻跳了一下。

无穷的余项。

调和级数的每一项，都是一个具体的数字，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}……它们像一块块砖石，堆砌出一条通向无穷的路。而\ln n，是这条路上的影子，随着n的增大，影子越来越长，却始终追不上砖石的脚步。两者的差值，就是γ，是这条路尽头的一抹余韵，看不见，摸不着，却真实存在。

林深抱着那本《欧拉全集》，坐在书房的藤椅上，翻开书页。欧拉的手稿，字迹潦草却充满力量，那些公式像一条条奔涌的河流，在纸页上流淌。他看到欧拉计算γ的过程，用的是近似值，一步一步，从有